Гипотеза Коллатца

    Эту статью могут комментировать только участники сообщества.
    Вы можете вступить в сообщество одним кликом по кнопке справа.
    Любитель Учёный написал
    0 оценок, 30 просмотров Обсудить (0)

    Теорема.

    Для любого натурального числа n при его пошаговом изменении в соответствии с алгоритмом:

    если n – нечётное, то умножаем его на 3 и к произведению добавляем 1;

    если n – чётное, то делим его на 2;

    неизбежно получится последовательность 4; 2; 1.

    Доказательство.

    Утверждение теоремы будет верным только в том случае, если в процессе преобразований любого натурального числа n по данному алгоритму на очередном шаге мы при умножении нечётного числа k на 3 и добавлении к произведению 1 получим чётное число 4m, где m – натуральное число. Дальнейшая серия делений на 2 приведёт к конечной последовательности.

    Так как k – нечётное число, то его можно представить в виде k=2t+1, где t – натуральное число. Тогда преобразование числа n на рассматриваемом шаге можно представить в виде равенства 3(2t+1)+1=4mили 6t+4=4m

    Если данное равенство будет верным при множестве произвольных значений t и m, то теорема верна.

    Преобразуем 6t+4=4m. Отсюда 4m-4=22m-22=(2m-2)(2m+2)=6t.

    Далее 4(2m-1-1)(2m-1+1)=6t. Тогда 2(2m-1-1)(2m-1+1)=3t.

    У нас имеется последовательность следующих друг за другом трёх натуральных чисел: (2m-1-1); (2m-1); (2m-1+1). Значит, одно из них обязательно делится на 3. Но это не (2m-1), так как данное число имеет простые делители только 2. Значит, (2m-1-1) или (2m-1+1) обязательно делится на 3.

    Таким образом, левая часть последнего уравнения делится на 3, что соответствует условию правой части данного уравнения.

    Значит, данное уравнение будет верным при множестве произвольных значений t и m. Поэтому теорема верна.

    Новости парнеров

    Комментировать

    осталось 1185 символов
    пользователи оставили 0 комментариев , вы можете свернуть их
    • Регистрация
    • Вход
    Ваш комментарий сохранен, но пока скрыт.
    Войдите или зарегистрируйтесь для того, чтобы Ваш комментарий стал видимым для всех.
    Код с картинки
    Я согласен
    Код с картинки
      Забыли пароль?
    ×

    Напоминание пароля

    Хотите зарегистрироваться?
    За сутки посетители оставили 520 записей в блогах и 5211 комментариев.
    Зарегистрировалось 32 новых макспаркеров. Теперь нас 5029848.
    X