Отсутствие нечётного совершенного числа

    Эту статью могут комментировать только участники сообщества.
    Вы можете вступить в сообщество одним кликом по кнопке справа.
    Любитель Учёный написал
    3 оценок, 280 просмотров Обсудить (4)

    Совершенным числом называется натуральное число, сумма правильных делителей которого равна данному числу. Например, 6=1+2+3, также 28=1+2+4+7+14. Совершенные числа очень редкие. Третье совершенное число – 496, четвёртое – 8128, пятое – 33550336. С помощью компьютеров к настоящему времени найдено около пятидесяти совершенных чисел, последние из которых состоят из нескольких десятков миллионов знаков. Все эти числа являются чётными, так как они найдены в соответствии с критерием Евклида для совершенных чисел. До сих пор было неизвестно о том, существуют ли нечётные совершенные числа или нет.

    Теорема.

    Не существует нечётного совершенного числа.

    Доказательство.

    Все простые числа являются недостаточными. Составные нечётные числа могут быть недостаточными (начиная с 9) или избыточными (начиная с 945).

    Рассмотрим составное нечётное число y, которое раскладывается на разные простые нечётные множители a и b. Таким образом, y=ab. Сумма его правильных делителей равна 1+a+b=1+s, где s – сумма правильных делителей за исключением 1. Наименьшим таким числом является 15=3*5. Оно является недостаточным, так как сумма его правильных делителей равна 1+3+5=9.

    Рассмотрим изменения, которые произойдут при добавлении к данному составному нечётному числу ещё одного простого нечётного множителя d. При этом не имеет значения, совпадает ли он с уже имеющимися простыми множителями a и b или нет. Тогда x=yd=abd. Сумма его правильных делителей будет складываться из суммы правильных делителей числа y и суммы новых делителей, образующихся при умножении каждого из прежних делителей на d. Таким образом, сумма правильных делителей составного нечётного числа x=abd будет равна 1+s+d(1+s)=(1+d)(1+s).

    Будет ли верным равенство x=(1+d)(1+s)? Слева стоит нечётное число x. Справа один из множителей (1+d) является чётным (так как d – нечётное простое число). Равенство не верно.

    Значит, нечётное число не может быть совершенным.

    Комментировать

    осталось 1185 символов
    пользователи оставили 4 комментария , вы можете свернуть их
    Александр Дмитриевич Семёнов # написал комментарий 31 июля 2019, 22:00
      А давайте рассмотрим что произойдёт с достаточным нечётным составным числом из двух простых сомножителей при добавлении к нему ещё одного простого? Или одного, но во второй степени?
      А давайте расмотрим, что произойдёт, если мы добавим в Вашем примере ещё один сомножителеь, но не в первой степени, а во второй?
    ADSemenov
    Семён Спокойный # написал комментарий 1 августа 2019, 05:56
    Это шутка или Вы всерьёз?
    Александр Дмитриевич Семёнов # ответил на комментарий Семён Спокойный 23 сентября 2019, 20:44
    .
      Нет. И это печально. Это не шутка автора, а его "проблема". Аналогичные "проблемы" были и в отношении Теоремы Ферма.
      Не скрою, что я посвятил этой "проблеме" много часов своей жизни. И не жалею. И буду дальше продолжать свои "изыскания". Хотя и предполагаю, что решения этой проблемы просто нет..
      Так жизнь без надежды — это мрак. :)
    ADSemenov
    • Регистрация
    • Вход
    Ваш комментарий сохранен, но пока скрыт.
    Войдите или зарегистрируйтесь для того, чтобы Ваш комментарий стал видимым для всех.
    Код с картинки
    Я согласен
    Код с картинки
      Забыли пароль?
    ×

    Напоминание пароля

    Хотите зарегистрироваться?